Análisis Dimensional desde el punto de vista matemático
En toda ecuación que exprese una relación física entre magnitudes debe verificarse la igualdad de sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. En general, todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales fuerza F, longitud L y tiempo T Este análisis permite agrupar las variables implicadas en un fenómeno en los parámetros adimensionales y expresar el problema en términos de la relación funcional de estos parámetros. Sus aplicaciones son:
- conversión de unidades entre sistemas
- desarrollo de ecuaciones
- reducción del número de variables requeridas en un programa experimental
- establecimiento de principio para el diseño de modelos
Principalmente, las ecuaciones experimentales se emplean cuando no existen ecuaciones que modelen directamente los fenómenos a interpretar, simplificando y reduciendo mucho el trabajo experimental.
Modelos Hidráulicos. Semejanzas
Los modelos hidráulicos pueden ser, o bien modelos verdaderos, o bien modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las características significativas del prototipo reproducido a escala (semejanza geométrica) y satisfacen todas las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica) De esta manera, las semejanzas entre modelo y prototipo son:
Semejanza geométrica: Cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas en modelo y prototipo son iguales
Semejanza cinemática: existe semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:
- las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente
semejantes, - las relaciones entre las velocidades de las partículas homologas son iguales
Las relaciones a cumplir son las referentes a la velocidad, aceleración y caudal.
Semejanza dinámica: existe semejanza dinámica si las relaciones entre las fuerzas
homologas en modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del Segundo principio de Newíon, ∑Fx = Max. Las fuerzas actuantes pueden ser cualquiera de las siguientes o una combinación de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a presión, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensión superficial y fuerzas elásticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relación de fuerzas (m: modelo; p: prototipo):
∑fuefias (viscosas + de presión + gravitatorias + tensión superficial + elásticas)m = Mm am
∑fuerzas (viscosas + de presión + gravitatorias + tensión superficial + elásticas)p Mp ap
Semejanza en Dinámica de Fluidos
En Mecánica de Fluidos se pueden obtener resultados importantes a partir de (os argumentos adimensionales. Los parámetros pertinentes en cualquier situación física pueden ser combinados en grupos adimensional independientes, los cuales caracterizan el flujo. En la Dinámica de Fluidos, esos parámetros adimensionales se definen exactamente y cada uno de ellos tiene una denominación. Esos parámetros adimensionales, o parámetros n, se pueden obtener a través del método de análisis dimensional o de las ecuaciones diferenciales gobernantes al pasarlas a forma adimensional Pero antes, sería interesante responder a la siguiente pregunta: ¿por qué se estudia esto en Mecánica de Fluidos? ¿Cómo está relacionada la Mecánica de Fluidos con el diseño y modelo de un problema? Esta cuestión se resolverá a través del siguiente ejemplo.
Se considera cualquier problema de flujo de un fluido, por ejemplo, el flujo sobre un objeto sólido. Las propiedades y configuración del flujo están determinadas por la forma geométrica del objeto y las propiedades pertinentes del fluido Se dice que 2 flujos son semejantes si son geométricamente semejantes y si todos los parámetros adimensionales pertinentes son los mismos para los 2 flujos. Se considera un modelo (como un auto en un túnel de aire) y un prototipo. Para relacionar las medidas hechas en el modelo con el prototipo, se acude a los métodos de semejanza, haciendo que ambos sean geométricamente semejantes y que los parámetros n sean los mismos en ambos. Las siguientes imágenes representan un túnel de viento; un modelo de avión en un túnel y el avión rea!:
El significado de flujo semejante y correlación entre modelo y prototipo se puede comprender considerando la forma adimensional de las ecuaciones gobernantes. Si todas las ecuaciones diferenciales pertinentes se hacen adimensionales. el tamaño del objeto no entra en consideración si la forma es geométricamente semejante. Sin embargo, los parámetros adimensionales (los cuales figuran como coeficientes adimensionales en las ecuaciones diferenciales adimensionales) deben ser iguales en ambos flujos. Esos parámetros dependen de las propiedades del fluido y de una dimensión física característica (tomada como referencia) del objeto. Por ende, las ecuaciones diferenciales escritas son idénticas para el modelo y prototipo. Se pueden hacer sobre el modelo medidas de cualquier variable adimensional, por ejemplo, la presión adimensional. Esta variable apropiada para el modelo tendría el mismo valor en el prototipo y al convertirla a la forma adimensional, los datos tomados en el modelo pueden ser relacionados directamente con el prototipo.
En conclusión, 2 flujos son semejantes si los parámetros y variables adimensionales son los mismos, sin considerar el tamaño de la configuración del flujo si mantienen una semejanza geométrica.
En la práctica no siempre se puede hacer todos los parámetros adimensionales iguales al mismo tiempo para el modelo y prototipo. En tales casos, se deben hacer concesiones. No obstante, se logra obtener una cierta semejanza útil.
El Análisis Dimensional o el Teorema n de Bucklngham son métodos que consisten en encontrar los parámetros adimensionales pertinentes sin conocer las ecuaciones diferenciales relevantes (la dimensión de estos parámetros adimensionales es siempre 1). Estos métodos requieren que se conozcan todas las variables pertinentes en cualquier problema dado. Entonces, esas variables se combinan entre si en tantos grupos adimensionales Independientes (o grupos π como sean posibles. La ventaja de este sistema es la de que no se necesita conocer las ecuaciones gobernantes o leyes para problemas complejos, pero se deben conocer entonces todas las variables y sólo las variables pertinentes deben involucrarse en el problema. La introducción de cualquier variable extraña y/o la omisión de alguna pertinente destruirán el análisis. Esas restricciones son más que nada severas y generalmente es más seguro con las ecuaciones gobernantes. Asi, una vez determinados esos parámetros, se pueden obtener y correlacionar datos experimentales en forma adimensional. El número de grupos n es lijo para un problema dado, y es, generalmente (aunque no siempre), igual al número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales La elección de dimensiones fundamentales independientes es arbitraria, pero las 3 más comúnmente utilizadas son: la masa, la longitud y el tiempo y, en flujo compresible, la temperatura también, resultando 4.
Un conjunto básico de grupos n debe escogerse de manera que sean independíenles. Se pueden formar muchos grupos n multiplicando o dividiendo otros grupos k. pero el número de grupos n independientes para un problema dado es fijo. Por lo tanto, no hay un conjunto único de grupos npara un problema. Una vez encontrado el conjunto de grupos n, cualquiera de ellos puede escribirse en función de los otros. Esta forma funcional de expresar un conjunto en función de otro no se puede encontrar a través del análisis dimensional, sino sólo resolviendo las ecuaciones gobernantes o por experimentación Para ilustrar cómo funcionan estos métodos, se procederá al desarrollo de un ejemplo al final del capitulo, indicando un número muy útil para el Ingeniero Industrial, el Número de Reynolds.