Por Alejandro R. Álvarez Silva
Para romper la simetría SUL(2)⊗UY(1) se introduce un nuevo campo χ , llamado campo de Higgs, que también toma parte en ambas interacciones con W y C. Este campo de Higgs es un campo escalar, con el espín cero, por lo que su ecuación del movimiento libre es la de Klein-Gordon-Fock. Forma un doblete respecto al grupo SUI(2) igual que ψL:
(25)
Como vemos, las componentes tienen la carga eléctrica algo distinta de las ψL: la de arriba carga positiva y la de abajo neutra.
Se supone que el campo de Higgs además de interaccionar con los campos gauge W y C, obligatoria por la invariancia respecto a las transformaciones SU(2)⊗U(1) locales, puede tener una interacción directa con los leptones y consigo mismo, permitida por la teoría. Se observa que, sin violar ésta, pueden incluirse los siguientes términos en la función de Lagrange:
λ χ* eR* ψL , λ ψL* eR χ , V ( χ* χ ) , donde V es una función arbitraria.
De esta forma en la función de Lagrange (12) se añade:
£x = χ* ( ∂+igI β-igY C/2½)2 χ + λ ( χ* eR* β ψL+ ψL* βeRχ)+ V( χ* χ) (26)
donde las matrices β garantizan la invariancia Lorentz.
Entonces, ¿Cuántas partículas Higgs se han introducido? Según (25), parece que cuatro: dos cargadas χ± y dos neutras χ0 y o que corresponden a los cuatro campos reales contenidos en (25) después de la cuantización.
Como esta invariante gauge es bastante extensa, la posibilidad de hacer transformaciones SU(2)⊗U(1) con matrices y fases dependientes de x sin cambiar el contenido físico de la teoría significa que hay variables redundantes en ella. Aplicando transformaciones SU(2)⊗U(1) podemos fijar algunos de los campos iguales a cero, reduciendo así su número. Por eso el número de partículas físicas en las teorías gauge es en realidad menor que el número total de campos.
Aplicando transformaciones SU(2)⊗U(1) que contienen cuatro funciones arbitrarias, podemos simplificar la estructura del doblete de Higgs. No podemos anular todos sus componentes porque el producto escalar χ* χ es invariante bajo SU(2)⊗U(1). La estructura más sencilla de χ que podemos conseguir es:
χ | 0 |
| χ0 | con χ0 real y χ* χ = (χ0)2
Así que podemos escoger el campo de Higgs con una sola componente real χ0 que después de la cuantización corresponde a una sola partícula neutra nueva.
La importancia del campo de Higgs es que nos sirve para romper la simetría SU(2)⊗U(1) necesaria para ajustar la teoría a la realidad. Ello se realiza al suponer que el vacío físico está lleno de partículas de Higgs (neutras) con una densidad constante y distinta de cero en todo el espacio, lo que significa que en el vacío la función de onda χ0 toma un valor χ0 = ν constante y distinto de cero.
La ecuación del movimiento del campo de Higgs se obtendrá al variar la acción respecto a χ*.
De (26) se tiene:
(∂+igI β –igY C/2½)2 χ + λ eR* β ψL + χV´( χ* χ ) = 0 (27)
Tanto la interacción electromagnética como la débil son débiles. Suponiendo que la interacción del campo de Higgs con los leptones es también débil, despreciamos todos estos términos en una primera aproximación.
La solución que corresponde al vacío no puede depender de las coordenadas ni del tiempo, por eso las derivadas tampoco contribuyen, así que nos queda al final la ecuación para χ0:
χ0 V´( χ0)2 = 0 (28)
Esta ecuación siempre tiene la solución trivial χ0 = 0, que corresponde a la situación normal, cuando en el vacío no hay ninguna partícula (clásicamente). Pero se observa de (28) que pueden existir otras soluciones, distintas de cero, si el potencial tiene una forma como el de la Fig.1.
La teoría unificada electrodébil parte de la suposición de que la interacción del campo de Higgs posee de hecho esta propiedad, y el campo de Higgs en el vacío toma un valor distinto de cero:
| 0 |
W = | ν | (29)
Se observa en seguida que al fijar un valor de χ en el vacío distinto de cero, la simetría global SU(2)⊗U(1) queda rota. En efecto, cualquier transformación de χ con matrices constantes de SU(2) o fases constantes de U(1) va a cambiar el valor de W y conduce por tanto a una nueva teoría.
El campo físico χ´ que percibe el experimentador es la diferencia entre el χ y su valor en el vacío, χ´ = χ –W. El contenido físico de la teoría después de la rotura de la simetría se manifiesta al sustituir en todas las expresiones del campo χ primario (no observable), por el no observable χ´ según:
χ = χ´ + W (30)
Potencial de doble pozo en una teoría de campos con ruptura espontánea de simetría
En varios de los términos de la función de Lagrange total aparece entonces el campo constante W, con la forma explícita (29). Hace el papel de campo externo que rompe la simetría inicial, similar al campo magnético a lo largo del eje z en el ejemplo de la simetría rotacional.
A continuación estudiaremos el efecto de estos términos sobre el comportamiento de los campos gauge y los leptones.
Sustituyendo (30) en el primer término de (26), y separando la parte cuadrática en W, encontramos la contribución:
W* (gI β – gY C/2½)2 W (31)
Que en términos de los campos gauge con la carga definida en (20) se escribe como:
ν2 gL2 W+ W- + (1/2) γ2 (gi W0 +gY C0)2 (32)
Que es cuadrática en los campos igual que la parte de la función de Lagrange que describía los campos gauge libres antes de la rotura de la simetría (15):
- (1/4) Tr (F0)2 - (1/4) G2 (33)
donde el tensor F0 representa la parte libre del tensor completo de los campos W y es lineal en W:
Fμν0 = ∂μ Wν - ∂ν Wμ ≡ (∂×W)μν μ, ν = 0,1,2,3 (34)
En términos de los campos con la carga definida la función de Lagrange libre con la simetría intacta era:
- (1/2) (∂ W+) (∂×W-) – (1/4) (∂×W0)2 – (1/4) (∂×C)2 (35)
La presencia de las partículas de Higgs en el vacío le añade el término adicional (32), y por tanto cambia el comportamiento de los campos gauge libres.
En este caso, al tomar la derivada variacional de la acción en W-, el término adicional (32) proporciona una nueva contribución igual a ν2 gL2 W+, con lo que la ecuación de movimiento (11), que era ∂2 βμ - ∂μ (∂β) = jμ + Jμ se transforma en:
∂2 Wμ+ - ∂μ (∂ W+) + ν2 gL2 W+ = j+ + J+ (36)
donde hemos designado por j+ y J+ las componentes de las fuerzas matriciales j y J (con la carga +e) que proceden de los leptones más las partículas Higgs y de las propias partículas W, respectivamente. El campo W+ libre (con j+ = J+ =0) en el gauge transversal, donde la divergencia 4-dimensional es cero, ∂W+ =0, satisface la ecuación de Klein-Gordon-Fock (4), que aquí es:
(∂2+ ν2 gL2) W+ = 0 (37)
Por lo tanto, después de la cuantización los cuantos correspondientes (partículas W±) adquieren una masa distinta de cero, y determinada por el valor de ν:
mW2 = ν2 gL2 (38)
Recalcamos: La presencia de las partículas de Higgs en el vacío ha cambiado radicalmente las propiedades de las partículas W±: Su masa ha dejado de ser nula. Este fenómeno (“mecanismo de Higgs”) es debido a la interacción de los campos W± con las partículas de Higgs en el vacío.
Para los campos neutros W0 y C, se obtiene que los cuantos del campo, llamados ahora partículas neutras Z0, adquieren una masa determinada según:
mz2 = γ2 (gL2+gY2) (39)
que es mayor que la masa del W± debido a la interacción con la hipercarga gY.
Aparece otro campo A, cuyo cuanto no tiene masa, pues no se ve ningún término adicional que depende de A. Sería el campo electromagnético, cuya partícula correspondiente es el fotón.
También las propiedades de los leptones libres cambian al romper la simetría. Haciendo χ = χ´+W en la parte de (26) que describe su interacción con las partículas de Higgs, obtenemos un término cuadrático en las funciones de onda de los leptones:
λ (W*eR* β ψL+ ψL* β eRW) = λν (eR* β eL+eL* β eR) (40)
que después de la variación de la acción respecto a eL* y eR* va a añadir a la parte izquierda en la ecuación de Dirac (18) el término λν eR y en (19) el término λν eL. Son precisamente los términos que corresponden a una partícula relativista con el espín ½ y la masa
me = λν (41)
Por consiguiente, con la simetría rota el electrón deja de tener masa nula haciéndose pesado. Su masa queda determinada por el valor de ν del campo de Higgs en el vacío (que se ha calculado en 246 GeV), por un lado, y por la constante de acoplamiento directo λ entre los leptones y el campo de Higgs. El neutrino no aparece en el término adicional (40) y se queda sin masa.
Concluimos, pues, que tras la ruptura de la simetría original SU(2)⊗U(1) la teoría adquiere todas las propiedades requeridas por los hechos experimentales: las partículas mediadoras de la interacción con el campo de Higgs, y el restablecimiento de la invariancia respecto a la paridad en la parte electromagnética.
Esta teoría contiene 4 parámetros: las constantes de acoplamiento gi, gY y λ, y la densidad de las partículas de Higgs en el vacío ν2. Tres de ellas se determinan a partir de los valores observados de la carga y masa del electrón y de la intensidad de la interacción débil establecida en reacciones como la desintegración del neutrón y el muón.
Queda como constante nueva, el denominado ángulo de Weinberg, que se define por:
Sen θW = gY/(gL2+gY2)½ (42)
De (38) y (39), la relación entre las masas de W± y Z0 se expresa directamente a través de θW:
mz = mW/cos θW (43)
La existencia del bosón gauge neutro pesado Z0 significa que entre las partículas hay una interacción parecida a la electromagnética, pero débil, de muy corto alcance y que no conserva la paridad.
Con todos los parámetros establecidos, las masas de los bosones gauge W± y Z0 quedan fijadas a los valores mW =80 GeV/c2, mz =91 GeV/c2. Esta predicción teórica fue confirmada en los aceleradores de partículas en el año 1987, siendo un éxito espectacular de la teoría electrodébil unificada.
La interacción electrodébil de los quarks (constituyentes básicos del núcleo atómico) se construye de la misma forma que para los leptones, separando los quarks en sus componentes de izquierda, que forman dobletes respecto a las transformaciones SUL(2), y de derecha, que son singletes y no interaccionan con el campo W. La única peculiaridad aparece en la interacción directa de los quarks con el campo de Higgs. La interacción del campo de Higgs con los quarks puede cambiar sus sabores.
Volvemos a recalcar que la teoría electrodébil está basada en el fenómeno de la rotura de la simetría realizado por el campo de Higgs. Por tanto, para esa teoría es fundamental que la partícula de Higgs correspondiente exista, pero hay pocas indicaciones dentro de la propia teoría respecto a su posible masa.
La teoría de la interacción fuerte se basa también en una simetría tipo gauge respecto a transformaciones SU(N) locales. Como los quarks no pueden hacerse libres debido a que las fuerzas entre ellos crecen con la distancia, este hecho sugiere que el alcance de la interacción fuerte primaria debe ser largo y que el campo gauge debe interaccionar consigo mismo para que estas fuerzas resulten distintas de las de Coulomb electrostáticas. Por ello la simetría gauge debe ser no abeliana, lo que implica N>1, y no debe ser rota, a diferencia de la interacción débil.
En esta interacción fuerte se llega finalmente a la simetría gauge SU(3) de color, que forma la base de la teoría llamada cromodinámica. La invariancia gauge SU(3) introduce el campo gauge correspondiente G, una matriz hermética 3×3, que se llama campo gluónico.
Las partículas que aparecen después de la cuantización son 8 gluones, que tienen las mismas propiedades que el fotón: masa nula y espín unidad.
Con esta última aportación el modelo estándar se denomina SU(3)⊗SU(2)⊗U(1).
El estudio más preciso de las medidas realizadas hasta el presente permite concluir que el bosón masivo de Higgs del modelo estándar tiene una magnitud mayor de 144 Gev, con un 95% de nivel de confianza. Por supuesto que se están realizando enormes esfuerzos para confirmar o desmentir la existencia de este bosón, como en ciertos experimentos del Tevatrón en el Fermilab, aparte del LHC ya citado.
De cualquier forma, desde los años en que se propuso el bosón de Higgs, han existido muchos mecanismos alternativos al mecanismo de Higgs, que en general usan una dinámica que interactúa fuertemente para producir un valor esperado del vacío que rompa la simetría electrodébil. Algunos de ellos son:
- Technicolor, que es la clase de modelo que intenta imitar la dinámica de la fuerza fuerte como camino para romper la simetría electrodébil.
- Modelo de Abbott-Farhi de composición de los bosones de vectores W y Z.
- Condensado quark arriba.
Para terminar, decir que si la masa del bosón de Higgs está entre 115 y 180 GeV, entonces el modelo estándar puede ser válido a todas las escalas energéticas hasta la escala de Planck (1016 TeV).
REFERENCIAS
Wikipedia (Bosón de Higgs, Teoría de campo de gauge, Grupo unitario, Operador hermitiano, Grupo de Lie, Estado de Fock, Espacio de Hilbert y Teoría cuántica de campos).
La bella teoría.blogspot.com. (El mecanismo de Higgs: la creación de la masa del Universo).
Física Cuántica. Joaquín Sánchez Guillén y Mijail A. Braum.