Cuando el número de variables son 4 o más. utilizando este teorema, se pueden agrupar estas magnitudes en un número de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Estos grupos adimensionales son los grupos π.
Si en el fenómeno físico en cuestión intervienen n magnitudes físicas q, de las cuales k son dimensiones fundamentales y otras q (tales como velocidad o densidad), entonces, matemáticamente,
f(q1, q2, …, qn) = 0 → φ (π1, π2, …, πn-k) = 0
donde cualquier número x no depende más que de (k + 1) magnitudes físicas q y cada uno de los números π son funciones independientes adimensionalmente de las magnitudes q. El procedimiento es el siguiente:
- se escriben las n magnitudes físicas q, que intervienen en un problema en particular, anotando sus dimensiones y el número k de dimensiones fundamentales. Existirán (n - k) números k;
- seleccionar k de esas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones ni 2 que tengan las mismas. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse en las seleccionadas;
- el primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes elegidas, elevada cada una a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes elevada a una conocida;
- mantener las magnitudes elegidas en el paso 2 como variables repetidas y escoger una de las restantes para establecer un nuevo número π. Repetir esto para obtener los otros números π;
- en cada grupo π, determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional.
En otras palabras, "existe un número de parámetros adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es Igual a la diferencia entre el número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales". Es decir,
l = N - R
donde:
- I: número de parámetros adimensionales independientes
- N: número de variables implicadas en el problema
- R: número de dimensiones fundamentales
No obstante, el teorema π de Buckingham sólo sienta la base teórica para afirmar que la reducción de N a R parámetros se puede realizar, pero no indica el cómo hacerla ni cuánto vale R La reducción no es única en cada caso.